Restricciones de mano de obra.
Restricciones de costos de producción.
Un estudio de tiempos y movimientos ha demostrado que para producir 1000 litros de cerveza clara se requiere un total de 3 obreros en el proceso de producción. En cambio se requieren 5 obreros para producir 1000 litros de cerveza obscura. Se supone que la planta tiene un total de 15 obreros. Esto quiere decir que la producción de X1 y X2 depende del número disponible de obreros. Esto puede representarse por la siguiente desigualdad:
La desigualdad (2.2) dice que la cantidad de obreros utilizados en la producción semanal de X1 y X2 no puede exceder de 15. Producir 100 000 litros de cerveza clara y 100 000 litros de cerveza obscura utilizarían 800 obreros, que exceden al límite disponible. Se supone que producir 1000 litros de cerveza clara le cuestan ala planta $500.00, mientras que 1000 litros de cerveza obscura le cuestan solamente $200.00. Su capital no le permite gastar más de $1000.00 semanales en al producción de X1 y X2 . Matemáticamente esta restricción puede expresarse así:
Cuyas dimensiones, son pesos. De nuevo la producción de 100000 litros de X1 y X2 significarían un gasto semanal de $ 70000.00 que excede al límite de 1000.
La pregunta a la que la empresa desea una solución es la siguiente: Cuales deben ser los niveles de producción semanal de cerveza clara X1 y de cerveza obscura X2 que maximicen el ingreso por concepto de venta semanal, sin exceder las restricciones de personal y de capital?
Matemáticamente se trata de resolver el siguiente problema, llamado de programación lineal
Maximizar
Z = 5000X1 +3000X2
Sujeto a
3X1 + 5X2 <= 15
500X1 + 200X2 <= 1000
X1 >=0, X2>=0
La última restricción (X1 >= 0, X2 > = 0), se llama condición de no � negatividad, y evita que los resultados den un absurdo negativo, que en este caso podría significar una producción negativa (destrucción).
En un sistema de coordenadas rectangulares se puede describir gráficamente, como el dueño de la planta puede resolver optimamente su programa de producción semanal. Un eje del sistema medirá la cantidad de cerveza clara X1 y X2 deben ser no � negativas, se refiere únicamente al cuadrante derecho del sistema coordenado.
A continuación se interpreta la representación geométrica de las desigualdades
3X1 + 5 X2 < = 15
500X1+200X2 <= 1000
Si por el momento se considera a estas desigualdades como igualdades, se tiene
3X1 + 5 X2 = 15
500X1+200X2 = 1000
o lo que es lo mismo
X2 = 3 � (3/5)X1
X2 Cerv.Obscura
Img21_1
X2 = 5 � (5/2)X1
Si arbitrariamente se le da valores a X1 se obtiene el correspondiente valor de X2 en ambas rectas. Un par de valores arbitrarios de X1 generarían 2 puntos, que unidos dan la recta en cuestión. Se dan a X1 el valor cero en ambas rectas, y los valores cinco y dos a X2 respectivamente. La tabla a continuación da el valor de X2:
Cualquier punto (X1,X2) satisface la restricción 5X1+2X2 < = 10 en las zonas sombreadas, mientras que en la zona blanca de la misma figura viola la restricción.
Los puntos (X1,X2) contenidos dentro del área sombreada, son los únicos que satisfacen las restricciones laborales, de capital y de no � negatividad, simultáneamente. El industrial tiene que buscar dentro de esa infinidad de puntos, cuáles son los que producen la mejor utilidad Z. Por ejemplo un punto A, donde X1=0 y X2=0, satisface todas las restricciones y no � negatividad como se muestra a continuación:
3(0) + 5(0) = 0 <= 15
500(0)+200(0) = 0 <= 1000
pero produce una utilidad de Z = 5000(0) +3000(0) = 0.
El punto B donde se producirían X1 = 1000 litros de cerveza clara y X2= 1000 litros de cerveza obscura, también satisface todas las restricciones
3(1) + 5(1) = 8 <= 15
500(1)+200(1) = 700 <= 1000
>= 0, 1>=0
y produce una utilidad de Z = 5000(1) +3000(1) = 8000 pesos, que es una utilidad mucho mejor que la obtenida en el punto A. El punto C donde se producirían X1=3000 litros de cerveza clara y X2=3000 litros de cerveza obscura generarían una utilidad de Z = 5000(3) +3000(3) = 24000 pesos.
Que es una utilidad mucho mejor que la producida por los puntos A y B. Sin embargo, la producción del punto C viola las restricciones de personal y de capital. La primera porque utiliza 24 personas, cuando el máximo permisible son 15,
3(3) +5(3) = 24 no es menor o igual que 15,
mientras que la segunda, porque se están utilizando 2100 pesos, cuando el máximo permisible son 1000,
500(3) +200(3) = 2100 no es menor o igual que 1000.
Esta región sombreada lleva el nombre de región de factibilidad.
A continuación se verá cómo puede obtenerse gráficamente el punto (X1,X2) que da el nivel de la producción, que satisfaciendo ambas restricciones proporciona la utilidad óptima.
La función de utilidad se expresa como
Z = 5000 X1 +3000 X2
Supóngase que Z es igual a 15000. Esto implica
15000 = 5000 X1 +3000 X2 o sea
X2 = 5 � (5/3) X1.
Dándole a X1 valores arbitrarios de 0 y 3, se obtiene respectivamente valores de X2 iguales a 5 y 0. Al unir los puntos (0,5) y (3,0) con una recta, se obtendrá el lugar geométrico de todos los puntos (X1,X2) que satisfacen la recta.
Gráficamente se obtiene:
Haciendo Z ahora igual a 10000, se obtiene una recta paralela a la anterior pero desplazada un poco hacia abajo. De la misma manera con una Z = 30000 se obtendría otra recta paralela a las dos anteriores, pero desplazada un poco hacia arriba. Gráficamente se tiene
A estas alturas se puede afirmar que si se desplaza la recta hacia abajo, el valor de Z disminuye, mientras que un desplazamiento hacia arriba aumentaría el valor de Z. LA pregunta del usuario que debe responder se cuál es el máximo desplazamiento hacia arriba, que proporciona el mayor valor Z, y cuya correspondiente producción no viole las restricciones de personal y capital. Un momento de reflexión observando la figura se convencerá que el punto 0 de coordenadas (X1*,X2*) , es el punto buscado.
En este ejemplo, ese punto es el siguiente:
X1* = 1053 litros de cerveza clara
X2* = 2368 litros de cerveza obscura,
Que generan una utilidad óptima de
Z* = 5000(1.053) +3000(2.368) = 12369 pesos.
